BSD猜想

猜想陳述

給定一個整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數在1處的零點階數，且它的L函數在1處的泰勒展開的首項系數與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關系。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數公式的推廣。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對于motif的Bloch-Kato猜想。

已知結果

BSD猜想的陳述依賴于莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群。精確的部分依賴于沙群的有限性猜想。

對于解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2以外均成立。

對于解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

猜想的推論

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中著名的是與同余數問題的關系，從BSD猜想可以推出模8余5，6，7的無平方因子的正整數一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。