分析力學

基本介紹

拉格朗日力學，分析力學中的一種，由拉格朗日在1788年建立，是對經典力學的一種的新的數學表述。經典力學，最初的表述形式由牛頓建立，它著重分析位移，速度，加速度，力等矢量間的關系，又稱為矢量力學。拉格朗日引入了廣義坐標的概念，運用達朗貝爾原理，得到和牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意義，適用范圍更廣泛。并且，選取恰當的廣義坐標，可以使拉格朗日方程的求解大大簡化。

定義

拉格朗日力學是分析力學中的一種，于1788年由約瑟夫·拉格朗日所創立。拉格朗日力學是對經典力學的一種的新的理論表述，著重于數學解析的方法，是分析力學的重要組成部分。

力學系統由一組坐標來描述。比如一個質點的運動（在笛卡爾坐標系中）由x，y，z三個坐標來描述。一般的，N個質點組成的力學系統由3N個坐標來描述。力學系統中常常存在著各種約束，使得這3N個坐標并不都是獨立的。力學系統的獨立坐標的個數稱之為自由度。對于N個質點組成的力學系統，若存在m個約束，則系統的自由度為

S=3N?m

哈密爾頓量H可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到。哈密爾頓量是經典力學的另一種表述哈密爾頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數，而哈密爾頓量是相對應的余切叢上的函數。哈密爾頓量在量子力學中到處出現（參看哈密爾頓量(量子力學)）。

1948年，費曼發明了路徑積分表述，將最小作用原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經典力學的范圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密爾頓原理。

作者介紹

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數學家、物理學家。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。

其他信息

坐標

在矢量力學中，約束的存在體現于作用于系統的約束力。約束力引入額外的未知量，通常使問題變得更為復雜。但若能選取適當的s個完全滿足約束條件的獨立坐標，則約束不再出現于問題中，只需要求解關于s個未知變量的方程，使問題得以大大簡化。這樣的s個坐標不再局限于各質點的位置坐標，而可以是任何能描述系統的幾何參量，因此稱為“廣義坐標”。

假設

拉格朗日力學的一個基本假設是：具有n個自由度的系統，其運動狀態完全由n個廣義坐標及它們的微商（廣義速度）決定?；蛘哒f，力學系統的運動狀態由一個廣義坐標和廣義速度的函數描述：

這個函數稱為拉格朗日函數或拉格朗日量。

拉格朗日方程

拉格朗日力學中，運動方程由一個二階微分方程（拉格朗日方程）給出：

其中Q為所對應的非保守的廣義力。 拉格朗日方程的地位等同于牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義。

概念拓展

哈密頓量 可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到。哈密頓量是經典力學的另一種表述哈密頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態空間的切叢上的函數，而哈密頓量是相對應的余切叢上的函數。哈密頓量在量子力學中到處出現（參看哈密頓算符 (量子力學)）。

1948年，費曼發明了路徑積分表述，將最小作用量原理擴展到量子力學。在該表述中，粒子穿過所有可能的始態和終態的所有路徑；特定終態的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經典力學的范圍，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理。