1+1=2

1 1=2（one plus one equals two），是初等數學范圍內的數值計算等式。

數的出現

早在蒙昧時代，人們就在對獵物的儲藏與分配等活動中，逐漸產生了數的感覺。當一個原始人面對放在一起的3只羊、3個蘋果或3支箭時，他會朦朧地意識到其中有一種共性。可以想象，他此時會是多么地驚訝。但是，從這種原始的感覺到抽象的“數”的概念的形成，卻經過了極其漫長的時間。

一般認為，自然數的概念的形成可能與火的使用一樣古老，至少有著30萬年的歷史。我們無法考證，人類究竟在什么時候發明了加法，因為那時沒有足夠詳細的文獻記錄（也許文字也剛剛誕生）。但加法的出現無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算。至于乘法和除法，則必定是在加減法的基礎上搞出來的。而分數應該是出于分割物體的需要。

應該說，當某個原始人第一個意識到1 1=2，進而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時，這一刻是人類文明的偉大時刻，因為他發現了一個非常重要的性質——可加性。這個性質及其推廣正是數學的全部根基，它甚至說出數學為什么用途廣泛的同時，告訴我們數學的局限性。

人們知道，世界上存在三類不同的事物。一類是完全滿足可加性的量。比如質量，容器里的氣體總質量總是等于每個氣體分子質量之和。對于這些量，1 1=2是完全成立的。

第二類是僅僅部分滿足可加性的的量。比如溫度，如果把兩個容器的氣體合并在一起，則合并后氣體的溫度就是原來氣體各自溫度的加權平均（這是一種廣義的“相加”）。但這里就有一個問題：溫度這個量不是完全滿足可加性的，因為單個分子沒有溫度。

世界上還有一些事物，他們是徹底拒絕可加性的，比如生命世界里的神經元。我們可以將容器里的分子分到兩個容器，使得每個容器里的氣體仍然保持有宏觀量——溫度、壓強等。但是，我們對神經元不能這樣做。我們每個人都會產生幸福、痛苦之類的感覺。生物學告訴我們，這些感覺是由神經元產生的。但是，我們卻不能說，某個神經元會產生多少幸福或痛苦。不僅每個神經元并不具備這種性質，而且我們也不能將大腦劈成兩半，使得每個半球都有幸福或者痛苦感。神經元不是分子——分子可以隨時分開或者重組，神經元具有協調性，一旦將他們分開，生命就會終結，不可能再組合。

哥德巴赫猜想

數學上，還有另一個非常有名的“（1 1）”，它就是著名的哥德巴赫猜想。盡管聽起來很神秘，但它的題面并不費解，只要具備小學三年級的數學水平就就能理解其含義。原來，這是18世紀時，德國數學家哥德巴赫偶然發現，每個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和。例如3 3=6；11 13=24。他試圖證明自己的發現，卻屢戰屢敗。1742年，無可奈何的哥德巴赫只好求助當時世界上最有權威的瑞士數學家歐拉，提出了自己的猜想。歐拉很快回信說，這個猜想肯定成立，但他無法證明。

有人立即對一個個大于6的偶數進行了驗算，一直算到了330000000，結果都表明哥德巴赫猜想是對的，但就是不能證明。于是這道每個不小于6的偶數都是兩素數之和[簡稱（1 1）]的猜想，就被稱為“哥德巴赫猜想”，成為數學皇冠上一顆可望不可即的“明珠”。

1956年底，已先后寫了四十多篇論文的數學家陳景潤調到科學院，開始在華羅庚教授指導下專心研究數論。1966年5月，他像一顆璀璨的明星升上了數學的天空，宣布他已經證明了（1 2），即“充分大的偶數都能表示為一個素數及一個不超過二個素數的積之和”。

1973年，關于（1 2）的簡化證明發表了，他的論文轟動了全世界數學界。他的成果被國際公認為“陳景潤定理”，也叫“陳氏定理”。

陳景潤(1933.5-1996.3)是中國現代數學家。1933年5月22日生于福建省福州市。1953年畢業于廈門大學數學系。由于他對塔里問題的一個結果作了改進，受到華羅庚的重視，被調到中國科學院數學研究所工作，先任實習研究員、助理研究員，再越級提升為研究員，并當選為中國科學院數學物理學部委員。

1996年3月19日13時10分，因肺炎并發癥逝世，享年62歲。

皮亞諾公理

皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設，是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關于自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

①0是自然數；

②每一個確定的自然數a，都有一個確定的后繼數x'，x'也是自然數（一個數的后繼數就是緊接在這個數后面的數，例如，1的后繼數是2，2的后繼數是3等等）；

③如果b、c都是自然數a的后繼數，那么b=c；

④0不是任何自然數的后繼數；

⑤設S是自然數集的一個子集，且（1）0屬于S；（2）如果n屬于S，那么n'也屬于S。

(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)

更正式的定義如下：一個戴德金-皮亞諾結構是這樣的一個三元組(X,x,f)，其中X是一個集合，x為X中一個元素，f是X到自身的映射，且符合以下條件：

x不在f的值域內；

f為一個單射；

若x∈A且"a∈A蘊涵f(a)∈A"，則A=X。

該結構所引出的關于自然數集合的基本假設:

1.N(自然數集)不是空集；

2.N到N內存在a→a'的一一映射；

3.后繼元素映射的像的集合是N的真子集，事實上即N{1}(或N{0})；

4.若N的子集P既含有非后繼元素的元素，又有含有子集中每個元素的后繼元素，則此子集與N相等。

1 1的證明：

∵1 1的后繼數是1的后繼數的后繼數，即3，

∴2的后繼數是3。

根據皮亞諾公理③，可得：1 1=2。

偉大公式

2004年10月，一條科學新聞在國內的媒體上不脛而走。

原來，英國著名的科學雜志《物理世界》此前舉行了一場別開生面的評選活動，邀請世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛的公式、定理或定律。結果，讓很多人意外的是，1 1=2這個連小學生都知道的基本數學公式不僅入選，而且還高居第一。一個加拿大讀者說出了他的理由：“這個最簡單的公式有著一種妙不可言的美感。”此次評選活動的主持者則這樣評價到：“一個偉大公式的力量不僅論述了宇宙的基本特性并傳達了標志性的信息，而且還在盡力孕育出更多自然界。

無獨有偶，1971年，尼加拉瓜發行了一套紀念郵票《改變世界面貌的十個數學公式》，排在第一。

然而正是這個“1 1=2”。

從無窮小量和運算符號括號"（）"來證明1 1=2.證明如下：

假設0（這里的0為無窮小量）0=1，

那么(0 0)(0 0)=1 1,

符合加法運算定律(合并同類項和結合律)，

則有1 1=2。

三段式證明如此。